Espacio prehilbertiano

En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par ${\displaystyle (V,\langle \cdot |\cdot \rangle )}$, donde ${\displaystyle V\,}$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ es un producto escalar en ${\displaystyle V\,}$.

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base ${\displaystyle \mathbb {K} }$ sea ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$, así ningún espacio prehilbertiano sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ puede ser un espacio de Hilbert.